Límites indeterminados

Calcular los siguientes límites

Ejercicio 1

Principio de sustitución directa, el cual es reemplazar el valor de la X en la expresión lo que nos queda

Hacemos las operaciones aritméticas y nos dan los siguientes resultados

Obtenemos el siguiente valor que no podemos determinar lo que hace que tengamos que hacer el siguiente proceso algebraico para quitar la indeterminación

Factorizamos como un trinomio de con la fórmula

Necesitamos 2 números que multiplicados me den 8 y restados 2 factorizamos la expresión y utilizamos la diferencia de cuadrados para resolver el denominador y sacamos la raíz al primer y segundo termino

Simplificamos y nos queda lo siguiente debido a que si no quitamos esto la indeterminación seguirá

Sustituimos la X y operamos

Simplificamos y nos queda el resultado final

Ejercicio 2

Principio de sustitución directa, el cual es reemplazar el valor de la X en la expresión lo que nos queda

Hacemos las operaciones aritméticas y nos dan los siguientes resultados en los cuales podemos encontrar una indeterminación

Racionalizamos el numerador y multiplicamos por el conjugado del numerador donde está la raíz, en el conjugado cambia el signo

Hago la simplificación algebraica y multiplico lo que nos da

En el numerador efectuó una multiplicación de polinomios para poder simplificar

Simplificó en el numerador si multiplico raíz de X por raíz de X de igual valor n se desaparece la raíz quedando X y cancelo términos con signos opuestos

Cancelamos los términos iguales donde se encontraba la indeterminación que nos daba cero y nos queda lo siguiente

Puedo evaluar el límite nuevamente teniendo la expresión ya racionalizada

Volvemos al límite a evaluar cuando X tiende a 4 sustituimos de forma directa el valor de la X en la expresión lo que nos queda

Operamos y sacamos raíz cuadrada de 4 que es 2 y sumamos lo que nos da el resultado final

Ejercicio 3

Principio de sustitución directa, el cual es reemplazar el valor de la X en la expresión, el coseno de cero es uno y teniendo esto operamos, pero nos encontramos una indeterminación

En este caso la expresión del numerador se parece a esta propiedad y necesitamos convertirla

Multiplicamos por el conjugado del numerador y lo colocamos en el numerador y denominador con diferente signo

Realizamos la multiplicación del numerador, la cual es coseno por coseno que nos da coseno al cuadrado

Aquí ya tenemos la propiedad que buscaba y reemplazo en la expresión del numerador

Esta fórmula nos va a ayudar a poder operar la expresión que tenemos, pero en la expresión podemos ver, que hay ciertas diferencias, ¿Qué hacemos?

Separamos la expresión debido a que seno de X al cuadrado es lo mismo que seno de X por seno de X e igualmente X al cuadrado es X por X y ponemos en una tercera fracción lo que no fue separado, quedándonos la siguiente expresión