Cálculo de derivadas
Ejercicio 1
Lo primero que encontramos f de x más h con la fórmula menos f de x y todo queda sobre h
Resolvemos el cuadrado primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado, este negativo se lo colocamos a los dos, entonces queda menos x y menos h porque se cambian los signos, luego más dos y aquí el negativo lo mismo para todos cambia todos los signos ya no es más, sino menos x al cuadrado ya no es menos sino más x y ya no es más sino menos 2.
Eliminamos todo lo que no tenga la h, x al cuadrado, se elimina con menos x al cuadrado, luego menos x y con ese menos x se elimina más x luego 2 y se elimina con menos 2
Factorizamos la h entonces la h queda como factor de 2 x , sí dividimos menos h / h se eliminan y queda menos 1
Reemplazamos la h con, cero y nos quedaría 2x + 0 -1, la derivada de esta función es 2x menos 1
Respuesta:
Ejercicio 2
Derivamos la función y nos queda 3x al cuadrado menos 12 x más 9
Con la primera derivada de la función lo que hacemos es la búsqueda de los valores críticos, igualamos nuestra primera derivada a 0 y nos queda 3x al cuadrado menos 12 x + 9 igual a cero. Los coeficientes 3,9,12 se pueden dividir entre 3 y nos queda x al cuadrado menos 4 x más 3 igual a 0
Aplicamos factorización, en este caso tenemos un trinomio, coloco dos paréntesis, tenemos menos y menos, vamos a buscar 2 números que multiplicados me den 3 y sumados 4 los cuales son 3 y 1 lo siguiente que hacemos es despejar la x pasando al otro lado positivo x igual a 3 y x igual a 1.
Aplicamos la segunda derivada y sacamos las coordenadas faltantes para graficar
Por último reemplazo en la función x en el 1 y hago lo mismo con el 3 y el resultado son las coordenadas restantes para graficar.
Ejercicio 3
La regla de l’HÔPITAL nos ayuda a resolver límites con indeterminaciones, siéndonos útil en algunos casos consiste en derivar arriba y abajo para luego aplicar el límite.
3.0
Sustituyo x en y me queda seno de 3.0 y 2 por 0 que me queda 0 arriba y abajo, lo cual es una indeterminación, esto nos lleva a aplicar la regla de l’HÔPITAL
Derivamos la función y nos queda 3 por coseno de 3x sobre la derivada de 2x que es 2 y reemplazo la x 3 por coseno de 0 que es 1 sobre 2 y el resultado es 3 sobre 2
Reemplazamos en la función para verificar si hay indeterminación, 1 ente 0 nos da infinito y menos 1 entre seno de 0 que es 0 lo cual es infinito y tenemos una indeterminación
Sacamos el mínimo como un múltiplo de x y seno de x lo que nos queda x seno de x , 1 por seno de x es seno de x y 1 por x es x reemplazamos y nos queda arriba y abajo 0 lo que hace una indeterminación y obliga a seguir utilizando la regla de l’HÔPITAL.
Derivamos lo cual nos queda seno de x es coseno de x , la derivada de menos x es menos 1 y tenemos en el denominador una multiplicación que sería derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada de segundo. Reemplazamos de nuevo y nos da arriba y abajo 0 lo cual es una indeterminación y nos hace continuar.
Volvemos a derivar coseno x es igual a menos seno de x, derivada de 1 es 0, seno de x es coseno de x y en la multiplicación que sería la derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo.
Reescribimos y operamos él más con él menos del paréntesis que nos queda la expresión lista para reemplazar y operamos seno de 0 es 0, coseno de 0 es 1 y 0 por seno de 0 es 0 lo cual no nos da una indeterminación y damos por finalizado el ejercicio.
Razón de cambio
Un avión que se mueve en forma paralela al nivel del suelo a razón constante de 600 mi / h se aproxima a una estación de radar. Si la altitud del avión es de 2 mi, ¿cuán rápido disminuye la distancia entre el avión y la estación de radar cuando la distancia horizontal entre ambos es 1.5 mi?
Para dar solución al problema primeramente utilizamos el teorema de Pitágoras debido a que tenemos un triángulo. Expresamos la ecuación de Pitágoras de forma de derivada, cancelamos el diferencial de h sobre t debido a que es una constate porque la altura del avión es constante pasando a 0.
Sustituimos los valores de x y de h en el teorema de Pitágoras Y cuadrada es igual a 1.5 al cuadrado más 2 al cuadrado, operamos dándonos 2.25 más 4, sumamos y el resultado es 6.25.
Luego le sacamos la raíz cuadrada a 6.25 que es 2.5 y con esto tendríamos. Y que era nuestro dato faltante, procedemos a despejar el diferencial de y sobre t sustituyendo. Pasamos a dividir el 2(2.5) operamos obteniendo diferencial de Y por la distancia entre el avión y la antena dándonos como resultado 360mi/h
Optimización
Se desea fabricar un acuario con base cuadrada y sin tapa, de capacidad 500 dm³. La base y las paredes del acuario están realizadas en cristal. ¿Cuáles deben ser sus medidas para minimizar la superficie total de cristal empleado?
X= ancho y profundo
Y= altura del acuario
La función S de superficie tiene una base cuadrada lo que hace que sea x al y tiene cuatro paredes que miden base por altura y nos queda 4 x por y
No puedo derivar esta función porque tiene 2 variables x e y necesito buscar un dato que me relacione las 2 variables para poder operar el cual es "capacidad 500 dm³" que es el volumen de este acuario es de base cuadrada y la fórmula del volumen seria área de la base por altura X al cuadrado por Y igual al 500
Utilizo este dato para despejar la y que es igual a 500 sobre x al cuadrado y lo reemplazo en la función y opero lo que me queda 2000 sobre x. Ya teniendo la fórmula de la superficie lo que paso a hacer es derivar la función y lo igualo a 0, nos queda una ecuación de tercer grado
Lo que hago es escribir todos los numeradores encima del denominador común, igualo el numerador a 0, muevo la constante hacia la derecha, divido entre ambos lados, el resultante lo escribo de forma exponencial y simplifico la expresión y me queda 10 donde hay un mínimo en el cual encuentro la cantidad de cristal necesaria para el acuario.
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